树状数组是一个能高效处理数组①更新、②求前缀和的数据结构。它提供了2 个方法，时间复杂度均为O(log n)：

1. update(index, delta)：将 delta 加到数组的 index 位置
2. prefix_sum(n)：获取数组的前 n 个元素的和
   range_sum(start, end)：获取数组从 [start, end] 的和，相当于 prefix_sum(end) – prefix_sum(start-1)

如果只追求第 1 点，即快速修改数组，普通的线性数组可满足需求。但对于 range sum()，需要O(n)。

如果只追求第 2 点，即快速求 range sum，使用前缀数组的效果更好。但对于 add() 操作，则需要O(n)，所以只适合更新较少的情况。

树状数组则处于两者之间，适合数组又修改，又获取区间和的情景。

思想

树状数组的思想是怎样的呢？

假设有一个数组 [1, 7, 3, 0, 5, 8, 3, 2, 6, 2, 1, 1, 4, 5]，想求前 13 个元素的和。那么，

13 = 2³ + 2² + 2⁰ = 8 + 4 + 1

前 13 个数的和等于【前 8 个数的和】+【接下来 4 个数的和】+【接下来 1 个数的和】，即 range(1, 13) = range(1, 8) + range(9, 12) + range(13, 13)。如果有一种方法，可以保存 range(1, 8)、range(9, 12)、range(13, 13)，那么计算这个区间和就可以加快了。

这里给出已经计算好的结果（即最下面的 array 层）。例如 array[8] 是 29，往上可以找到 29 对应的是 [1,8]，即 range(1, 8) = array[8]。同理，range(9, 12) = array[12]，range(13, 13) = array[13]。

由此图可以发现，虽然它的英文是含有 Tree，中间的部分看起来也是树状的，但是最终用到的 array 是线性的数组（太好了，复杂程度大减）。

那中间这 3 层是怎么来的呢？——需要从上到下，从左到右看。

首先计算 [1, 1] 的和，然后计算 [1, 2] 的和，然后计算 [1, 4]、[1, 8] 的和，每次乘 2，直到越界（[1, 16] 越界），这里分别算出来了1、8、11、29。

然后是第二层，从空缺的位置继续，这里的“界”不是整个数组的最大值，而是所有上层中下一个非空缺的位置。计算 [3, 3] 的和，[3, 4] 不用算，因为越界了。然后计算 [5, 5] 的和，接下来是 [5, 6] 的和，[5, 8] 越界不用算。

第三层也是类似，然后发现填完了。

以上可以帮助理解 result 数组中各值的来源，实际建立时有更简洁的做法。至于为什么是这样定义，可以另外找找资料，我看起来这有点像“分形”的感觉。